kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（填空题） 7．设 $y=y(x)$ 由方程 $x^{2}-x y+y^{2}=1$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2}{(x-2y)^3}$ **解析**： 步骤1：方程$x^2 - xy + y^2 = 1$两边对$x$求导：$2x - y - x y' + 2y y' = 0$，得$\displaystyle y' = \frac{y-2x}{2y-x}$。 步骤2：再求导：$\displaystyle y'' = \frac{(y'-2)(2y-x) - (y-2x)(2y'-1)}{(2y-x)^2}$，代入$y'$化简得$\displaystyle y'' = \frac{2}{(x-2y)^3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶导数 y'
方程 x^2 - xy + y^2 = 1 两边对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，得 2x - y - x y' + 2y y' = 0。
公式：2x - y - x y' + 2y y' = 0
提示：对 xy 求导时，使用乘积法则： (xy)' = y + x y'。
步骤 2/4
目标：解出 y'
将上一步方程整理，合并含 y' 的项： (2y - x) y' = y - 2x，解得 y' = (y - 2x) / (2y - x)。
公式：y' = (y - 2x) / (2y - x)
提示：注意分母不为零，即 2y - x ≠ 0。
步骤 3/4
目标：求二阶导数 y''
对 y' 的表达式再求导，使用商的求导法则： y'' = [ (y' - 2)(2y - x) - (y - 2x)(2y' - 1) ] / (2y - x)^2。
公式：y'' = [ (y' - 2)(2y - x) - (y - 2x)(2y' - 1) ] / (2y - x)^2
提示：注意 y' 是 x 的函数，求导时需再次使用链式法则。
步骤 4/4
目标：代入 y' 并化简
将 y' = (y - 2x)/(2y - x) 代入上式，分子化简后得到 2 / (x - 2y)^3。
公式：y'' = 2 / (x - 2y)^3
提示：化简时注意符号，最终分母为 (x - 2y)^3，与 (2y - x)^3 相差一个负号，但分子也有负号，结果为正。
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