kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \tan t\end{array}\right.$ 所确定，则在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内（ ）。 （A）$f(x)$ 连续，$f^{\prime}(0)$ 不存在 公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （B）$f^{\prime}(0)$ 存在，$f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续 （C）$f^{\prime}(x)$ 连续，$f^{\prime \prime}(0)$ 不存在 （D）$f^{\prime \prime}(0)$ 存在，$f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：当$t \geq 0$时，$x=3t$，$y=t \tan t$；当$t<0$时，$x=t$，$y=-t \tan t$。 步骤2：在$t=0$处，$x=0$，$y=0$。左导数：$\displaystyle \frac{dy}{dx}\big|_{t=0^-} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{-\tan t - t \sec^2 t}{1} \big|_{t=0} = 0$；右导数：$\displaystyle \frac{dy}{dx}\big|_{t=0^+} = \frac{\tan t + t \sec^2 t}{3} \big|_{t=0} = 0$，故$f'(0)=0$存在。 步骤3：$f'(x)$在$x=0$处连续，但$f''(0)$不存在（左右导数不等）。 **难度**：★★★★☆