kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设 $y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle x=\int_{1}^{y-x} \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4} t\right) \mathrm{d} t$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ **解析**： 步骤1：方程$\displaystyle x = \int_1^{y-x} \sin^2\left(\frac{\pi}{4} t\right) dt$，两边对$x$求导：$\displaystyle 1 = \sin^2\left(\frac{\pi}{4}(y-x)\right) \cdot (y'-1)$，得$\displaystyle y' = 1 + \frac{1}{\sin^2\left(\frac{\pi}{4}(y-x)\right)}$。 步骤2：当$x=0$时，$\displaystyle 0 = \int_1^{y} \sin^2\left(\frac{\pi}{4} t\right) dt$，得$y=1$。代入得$\displaystyle y'(0) = 1 + \frac{1}{\sin^2(\pi/4)} = 1+2=3$。 步骤3：再求导：$\displaystyle y'' = -\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{4}(y-x)\right) \cdot \frac{\pi}{4}(y'-1)}{\sin^3\left(\frac{\pi}{4}(y-x)\right)}$，代入$x=0,y=1,y'=3$，得$\displaystyle y''(0) = -\frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot 2}{(\sqrt{2}/2)^3} = -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{1/2\sqrt{2}} = \frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★★★☆