kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．设可导的奇函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=f^{2}(x)$ ，且 $f(-1)=1$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(1)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$6$ **解析**： 步骤1：由$f'(x) = f^2(x)$，两边求导得$f''(x) = 2f(x)f'(x) = 2f^3(x)$，再求导得$f'''(x) = 6f^2(x)f'(x) = 6f^4(x)$。 步骤2：由$f(-1)=1$，且$f$为奇函数，得$f(1) = -1$，则$f'''(1) = 6 \cdot (-1)^4 = 6$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求f'''(x)表达式
由f'(x)=f^2(x)，两边求导得f''(x)=2f(x)f'(x)=2f^3(x)，再求导得f'''(x)=6f^2(x)f'(x)=6f^4(x)。
公式：f'''(x)=6f^4(x)
提示：注意链式法则的应用
步骤 2/3
目标：利用奇函数性质求f(1)
由f为奇函数，得f(1)=-f(-1)=-1。
公式：f(1)=-f(-1)
提示：奇函数定义：f(-x)=-f(x)
步骤 3/3
目标：计算f'''(1)
代入f(1)=-1到f'''(x)=6f^4(x)，得f'''(1)=6×(-1)^4=6。
公式：f'''(1)=6
提示：注意偶次幂消去负号
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