kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．设函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}-2 t+1, \\ \mathrm{e}^{y} \sin t-y+1=0\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2e}$ **解析**： 步骤1：由$x = t^2 - 2t + 1$，得$\displaystyle \frac{dx}{dt} = 2t - 2$，当$t=0$时，$x=1$，$\displaystyle \frac{dx}{dt} = -2$。 步骤2：由$e^y \sin t - y + 1 = 0$，两边对$t$求导：$e^y y' \sin t + e^y \cos t - y' = 0$，当$t=0$时，$e^y \cdot 0 + e^y \cdot 1 - y' = 0$，且由原方程得$0 - y + 1 = 0$，$y=1$，故$y' = e$。 步骤3：$\displaystyle \frac{dy}{dx}\big|_{t=0} = \frac{e}{-2} = -\frac{e}{2}$。再求二阶导：$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) / \frac{dx}{dt}$，计算得$\displaystyle \frac{1}{2e}$。 **难度**：★★★★☆