kaoyan1basic 高等数学 第82题
📝 题目
### 第82题 已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$f(x) = 1 + \cos x$ **解析**： 步骤1：原式$\int_0^x f(t)dt = x + \sin x + \int_0^x t f(x-t)dt$，令$u = x-t$，则$\int_0^x t f(x-t)dt = \int_0^x (x-u)f(u)du = x\int_0^x f(u)du - \int_0^x u f(u)du$。 步骤2：代入得$\int_0^x f(t)dt = x + \sin x + x\int_0^x f(t)dt - \int_0^x t f(t)dt$，两边对$x$求导得$f(x) = 1 + \cos x + \int_0^x f(t)dt + x f(x) - x f(x) = 1 + \cos x + \int_0^x f(t)dt$。 步骤3：再求导得$f'(x) = -\sin x + f(x)$，即$f' - f = -\sin x$，一阶线性微分方程。 步骤4：通解$f = e^{\int dx} \left( \int -\sin x e^{-\int dx} dx + C \right) = e^x \left( \int -\sin x e^{-x} dx + C \right)$。计算$\displaystyle \int -\sin x e^{-x} dx = \frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x)$，故$\displaystyle f = e^x \left( \frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + C \right) = \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) + C e^x$。 步骤5：由原式令$x=0$得$0=0+0+0$，代入$\displaystyle f(0)= \frac{1}{2}(0+1)+C = \frac{1}{2}+C$，由步骤2中$x=0$得$f(0)=1+1+0=2$，故$\displaystyle C=\frac{3}{2}$，得$\displaystyle f = \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) + \frac{3}{2}e^x$。 **难度**：★★★★☆