kaoyan1basic 高等数学 第83题

教材习题

📝 题目

### 第83题 设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0) =b$ 的特解，其中 $m>n>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{am+b}{n^2}$ **解析**： 步骤1：特征方程$r^2+2mr+n^2=0$，判别式$\Delta = 4m^2-4n^2 >0$，根$r_{1,2} = -m \pm \sqrt{m^2-n^2}$，均为负实数。 步骤2：通解$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$，由$y(0)=a$，$y'(0)=b$得$C_1+C_2=a$，$r_1 C_1 + r_2 C_2 = b$。 步骤3：$\displaystyle \int_0^{+\infty} y dx = \int_0^{+\infty} (C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}) dx = -\frac{C_1}{r_1} - \frac{C_2}{r_2}$（因$r_1, r_2<0$）。 步骤4：由韦达定理$r_1+r_2 = -2m$，$r_1 r_2 = n^2$，且$\displaystyle C_1 = \frac{b - a r_2}{r_1 - r_2}$，$\displaystyle C_2 = \frac{a r_1 - b}{r_1 - r_2}$，代入得$\displaystyle -\frac{C_1}{r_1} - \frac{C_2}{r_2} = -\frac{1}{r_1 r_2} \cdot \frac{b(r_2 - r_1) + a(r_1^2 - r_2^2)}{r_1 - r_2} = \frac{am+b}{n^2}$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：写出特征方程并求解特征根
特征方程为 r^2 + 2m r + n^2 = 0，判别式 Δ = 4m^2 - 4n^2 > 0，特征根 r1 = -m + √(m^2 - n^2)，r2 = -m - √(m^2 - n^2)，均为负实数。
公式：r^2 + 2m r + n^2 = 0
提示：注意 m>n>0，确保判别式为正，根为负。
步骤 2/4
目标：写出通解并利用初始条件确定常数
通解 y = C1 e^{r1 x} + C2 e^{r2 x}。由 y(0)=a 得 C1 + C2 = a；由 y'(0)=b 得 r1 C1 + r2 C2 = b。解方程组得 C1 = (b - a r2)/(r1 - r2)，C2 = (a r1 - b)/(r1 - r2)。
公式：y = C1 e^{r1 x} + C2 e^{r2 x}
提示：解线性方程组时注意系数矩阵的行列式 r1 - r2 ≠ 0。
步骤 3/4
目标：计算无穷积分 ∫_0^{+∞} y(x) dx
由于 r1, r2 < 0，积分收敛：∫_0^{+∞} y dx = ∫_0^{+∞} (C1 e^{r1 x} + C2 e^{r2 x}) dx = -C1/r1 - C2/r2。
公式：∫_0^{+∞} e^{r x} dx = -1/r (r<0)
提示：注意积分限从0到+∞，指数函数积分公式。
步骤 4/4
目标：代入C1, C2并化简
代入 C1, C2 得 -C1/r1 - C2/r2 = -1/(r1 r2) * (b(r2 - r1) + a(r1^2 - r2^2))/(r1 - r2)。利用韦达定理 r1 + r2 = -2m，r1 r2 = n^2，化简得 (am + b)/n^2。
公式：r1 + r2 = -2m, r1 r2 = n^2
提示：化简时注意分子分母约分，利用平方差公式。

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