kaoyan1basic 高等数学 第84题
📝 题目
### 第84题 已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$y'' - 3y' + 2y = (2x+1)e^x$ **解析**： 步骤1：由解的结构，$y_1 - y_2 = e^{2x} - e^{-x}$，$y_1 - y_3 = e^{-x}$，$y_2 - y_3 = e^{2x}$，故齐次解基为$e^{2x}$和$e^{-x}$，特征根$r=2, -1$，特征方程$(r-2)(r+1)=0$即$r^2 - r - 2=0$，齐次方程$y'' - y' - 2y=0$。 步骤2：非齐次特解为$y_1 = x e^x + e^{2x}$，代入齐次方程得$y_1'' - y_1' - 2y_1 = (x e^x + e^{2x})'' - (x e^x + e^{2x})' - 2(x e^x + e^{2x})$。 步骤3：计算$y_1' = e^x + x e^x + 2e^{2x}$，$y_1'' = 2e^x + x e^x + 4e^{2x}$，代入得$(2e^x + x e^x + 4e^{2x}) - (e^x + x e^x + 2e^{2x}) - 2(x e^x + e^{2x}) = e^x - 2x e^x = (1-2x)e^x$，故非齐次项为$(1-2x)e^x$。 步骤4：原方程为$y'' - y' - 2y = (1-2x)e^x$。 **难度**：★★★☆☆