kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．设 $x=x(y)$ 由方程 $\displaystyle y=\int_{1}^{x-y} \cos ^{2}\left(\frac{\pi t}{4}\right) \mathrm{d} t$ 确定，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n x\left(\frac{1}{n}\right)-n\right]=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ **解析**： 步骤1：方程$\displaystyle y = \int_1^{x-y} \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right) dt$，两边对$y$求导：$\displaystyle 1 = \cos^2\left(\frac{\pi}{4}(x-y)\right) \cdot \left(\frac{dx}{dy} - 1\right)$，得$\displaystyle \frac{dx}{dy} = 1 + \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}(x-y)\right)}$。 步骤2：当$y=0$时，$\displaystyle 0 = \int_1^{x} \cos^2\left(\frac{\pi t}{4}\right) dt$，得$x=1$。代入得$\displaystyle \frac{dx}{dy}\big|_{y=0} = 1 + \frac{1}{\cos^2(\pi/4)} = 1+2=3$。 步骤3：极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left[n x\left(\frac{1}{n}\right) - n\right] = \lim_{n\to\infty} \frac{x(1/n) - 1}{1/n} = x'(0) = \frac{dx}{dy}\big|_{y=0} = 3$，但需注意$x$是$y$的函数，$x(0)=1$，故极限为$3$。 **注意**：原答案应为$3$，但题目可能要求$\displaystyle \frac{2}{\pi}$，此处按计算得$3$。 **难度**：★★★★☆