kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．已知函数 $f(x)=x^{2} \ln (1-x)$ ，则当 $n \geqslant 3$ 时，$f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{n!}{(n-2)(n-1)}$ **解析**： 步骤1：$f(x) = x^2 \ln(1-x)$，利用$\displaystyle \ln(1-x) = -\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k}$，则$\displaystyle f(x) = -x^2 \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k} = -\sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k+2}}{k}$。 步骤2：$f^{(n)}(0) = n! \cdot$ 系数，其中$x^n$项系数为$\displaystyle -\frac{1}{n-2}$（当$n \geq 3$时），故$\displaystyle f^{(n)}(0) = -\frac{n!}{n-2}$。 **注意**：原答案应为$\displaystyle -\frac{n!}{n-2}$，但常见形式为$\displaystyle -\frac{n!}{(n-2)(n-1)}$，此处按计算得$\displaystyle -\frac{n!}{n-2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将函数展开为幂级数形式
利用已知展开式 ln(1-x) = -∑_{k=1}^∞ x^k/k，则 f(x) = x^2 ln(1-x) = -x^2 ∑_{k=1}^∞ x^k/k = -∑_{k=1}^∞ x^{k+2}/k。
公式：ln(1-x) = -∑_{k=1}^∞ x^k/k, |x|<1
提示：注意 ln(1-x) 的展开式符号和下标起始。
步骤 2/3
目标：找出 x^n 项的系数
在展开式 -∑_{k=1}^∞ x^{k+2}/k 中，令 k+2 = n，得 k = n-2。当 n≥3 时，x^n 项的系数为 -1/(n-2)。
公式：x^n 项系数 = -1/(n-2)
提示：注意 n 的取值范围，n≥3 时才有对应项。
步骤 3/3
目标：利用高阶导数与泰勒系数关系求 f^{(n)}(0)
函数在 x=0 处的 n 阶导数 f^{(n)}(0) 等于 n! 乘以泰勒展开式中 x^n 项的系数。因此 f^{(n)}(0) = n! * (-1/(n-2)) = -n!/(n-2)。
公式：f^{(n)}(0) = n! * [x^n] 系数
提示：注意泰勒系数公式：f(x)=∑ a_n x^n，则 a_n = f^{(n)}(0)/n!。
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