kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（填空题） 11．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+x}{1-\cos x}=2$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**：步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)+x}{1-\cos x}=2$，分母$\displaystyle 1-\cos x\sim\frac12x^2$，故$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)+x}{\frac12x^2}=2$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)+x}{x^2}=1$。 步骤2：由极限存在且分母趋于0，得$f(0)+0=0$，即$f(0)=0$。由洛必达法则，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f'(x)+1}{2x}=1$，故$f'(0)+1=0$，即$f'(0)=-1$。再洛必达，$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f''(x)}{2}=1$，得$f''(0)=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用等价无穷小化简极限式
由于分母1-cosx ~ 1/2 x^2，将极限式改写为lim_{x→0} (f(x)+x)/(1/2 x^2) = 2，即lim_{x→0} (f(x)+x)/x^2 = 1。
公式：1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2
提示：注意等价无穷小替换的条件，确保分母趋于0。
步骤 2/4
目标：由极限存在推出f(0)的值
因为分母x^2趋于0，极限存在且为1，所以分子f(x)+x也必须趋于0，即f(0)+0=0，得f(0)=0。
公式：\lim_{x\to 0}\frac{f(x)+x}{x^2}=1 \Rightarrow f(0)=0
提示：极限存在且分母趋于0，则分子必趋于0。
步骤 3/4
目标：应用洛必达法则求f'(0)
对极限lim_{x→0} (f(x)+x)/x^2 = 1使用洛必达法则，得lim_{x→0} (f'(x)+1)/(2x) = 1。由于分母2x趋于0，分子f'(x)+1必须趋于0，故f'(0)+1=0，即f'(0)=-1。
公式：\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)+1}{2x}=1 \Rightarrow f'(0)=-1
提示：洛必达法则要求分子分母可导且导数极限存在。
步骤 4/4
目标：再次应用洛必达法则求f''(0)
对极限lim_{x→0} (f'(x)+1)/(2x) = 1再次使用洛必达法则，得lim_{x→0} f''(x)/2 = 1，所以f''(0)/2=1，即f''(0)=2。
公式：\lim_{x\to 0}\frac{f''(x)}{2}=1 \Rightarrow f''(0)=2
提示：注意二阶导数存在，洛必达法则适用。
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