kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．设 $\displaystyle f(t)=\lim _{n \rightarrow \infty} \cos t \cdot\left(\frac{n+t}{n-t}\right)^{n}$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**：步骤1：$\displaystyle f(t)=\cos t\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+t}{n-t}\right)^n=\cos t\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2t}{n-t}\right)^n=\cos t\cdot e^{2t}$。 步骤2：$f'(t)=-\sin t\cdot e^{2t}+\cos t\cdot2e^{2t}$，代入$t=0$得$f'(0)=0+2=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简极限表达式
将极限部分变形：\(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+t}{n-t}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2t}{n-t}\right)^n\)，利用重要极限 \(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n = e^x\)，得到 \(e^{2t}\)，因此 \(f(t)=\cos t \cdot e^{2t}\)。
公式：\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2t}{n-t}\right)^n = e^{2t}
提示：注意将 \(\frac{n+t}{n-t}\) 写成 \(1+\frac{2t}{n-t}\) 的形式，并凑出重要极限的形式。
步骤 2/3
目标：求导数
对 \(f(t)=\cos t \cdot e^{2t}\) 求导：\(f'(t) = -\sin t \cdot e^{2t} + \cos t \cdot 2e^{2t}\)。
公式：(uv)' = u'v + uv'
提示：使用乘积法则，注意 \(e^{2t}\) 的导数为 \(2e^{2t}\)。
步骤 3/3
目标：代入 t=0 计算
将 \(t=0\) 代入导数表达式：\(f'(0) = -\sin 0 \cdot e^{0} + \cos 0 \cdot 2e^{0} = 0 + 2 = 2\)。
提示：注意 \(\sin 0 = 0\)，\(\cos 0 = 1\)，\(e^0 = 1\)。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。