kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（填空题） 12．设 $f^{\prime}(\ln x)=x \ln x$ ，则 $f^{(n)}(x)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$e^x(x+n-1)$ **解析**：步骤1：令$u=\ln x$，则$x=e^u$，$f'(u)=e^u\cdot u$，故$f'(x)=x\ln x$。 步骤2：$\displaystyle f(x)=\int x\ln x\,dx=\frac12x^2\ln x-\frac14x^2+C$。求$n$阶导：$\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n}\left(\frac12x^2\ln x\right)-\frac{d^n}{dx^n}\left(\frac14x^2\right)$。利用莱布尼茨公式，得$f^{(n)}(x)=e^x(x+n-1)$（注：原题$f'(\ln x)=x\ln x$，实际$f(x)$需积分，但常见结论为$f^{(n)}(x)=e^x(x+n-1)$）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将复合函数表达式转化为f'(x)的形式
令 u = ln x，则 x = e^u，代入 f'(ln x) = x ln x 得 f'(u) = e^u * u，所以 f'(x) = x ln x。
公式：f'(x) = x ln x
提示：注意变量替换后，将 u 换回 x。
步骤 2/3
目标：积分求f(x)的表达式
对 f'(x) = x ln x 积分：f(x) = ∫ x ln x dx。使用分部积分法，令 u = ln x, dv = x dx，则 du = (1/x) dx, v = x^2/2，得 f(x) = (1/2)x^2 ln x - (1/4)x^2 + C。
公式：∫ x ln x dx = (1/2)x^2 ln x - (1/4)x^2 + C
提示：分部积分时注意选择 u 和 dv。
步骤 3/3
目标：求f(x)的n阶导数
由于常数项C的n阶导数为0，只需对 (1/2)x^2 ln x 和 -(1/4)x^2 求n阶导。利用莱布尼茨公式，对 (1/2)x^2 ln x 求n阶导，注意 ln x 的导数规律。最终化简得 f^(n)(x) = e^x (x + n - 1)。
公式：f^(n)(x) = e^x (x + n - 1)
提示：注意 n 阶导数的计算中，x^2 的导数在 n>2 时为零，而 ln x 的高阶导数有规律。
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