kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{t \rightarrow \infty} x\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t \sin x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle e^{\sin x}(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})$（注：原题极限应为$x$的函数，常见结果为$f(x)=xe^{\sin x}$，则$f'(x)=e^{\sin x}(1+x\cos x)$，此处按标准解答） **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x)=x\lim_{t\to\infty}\left(1+\frac1t\right)^{t\sin x}=x e^{\sin x}$。 步骤2：$f'(x)=e^{\sin x}+x e^{\sin x}\cos x=e^{\sin x}(1+x\cos x)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算极限并化简f(x)的表达式
利用重要极限：当t→∞时，(1+1/t)^t → e，因此f(x)=x * lim_{t→∞} (1+1/t)^{t sin x} = x * e^{sin x}。
公式：lim_{t→∞} (1+1/t)^t = e
提示：注意指数部分t sin x，极限结果中指数为sin x。
步骤 2/2
目标：对f(x)求导
f(x)=x e^{sin x}，使用乘积法则：f'(x)=e^{sin x} + x * e^{sin x} * cos x = e^{sin x}(1 + x cos x)。
公式：(uv)' = u'v + uv'； (e^{sin x})' = e^{sin x} cos x
提示：注意复合函数求导，e^{sin x}的导数为e^{sin x} cos x。
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