kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（填空题） 13．设 $x=t^{3}+2 t+1, \int_{0}^{y+t} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{3}$ **解析**：步骤1：$t=0$时，$x=1$，由$\int_0^{y+t}e^{-u^2}du=t$得$\int_0^y e^{-u^2}du=0$，故$y=0$。 步骤2：两边对$t$求导：$e^{-(y+t)^2}(y'+1)=1$，代入$t=0,y=0$得$y'(0)=0$。再求导：$e^{-(y+t)^2}(y''+1)-2(y+t)(y'+1)^2 e^{-(y+t)^2}=0$，代入得$y''(0)+1=0$，即$y''(0)=-1$。 步骤3：$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y'}{x'}$，$x'=3t^2+2$，$t=0$时$x'=2$，$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{y''x'-y'x''}{(x')^3}$，代入得$\displaystyle \frac{-1\cdot2-0}{(2)^3}=-\frac{1}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定t=0时x和y的值
当t=0时，x=0^3+2*0+1=1。由∫_0^{y+t} e^{-u^2} du = t，代入t=0得∫_0^y e^{-u^2} du = 0，故y=0。
提示：注意积分下限为0，上限为y+t，当t=0时上限为y。
步骤 2/4
目标：求y对t的一阶和二阶导数在t=0处的值
对∫_0^{y+t} e^{-u^2} du = t两边对t求导，得e^{-(y+t)^2} (y'+1) = 1。代入t=0, y=0得e^0 (y'(0)+1)=1，所以y'(0)=0。再对求导后的等式两边对t求导，得e^{-(y+t)^2}(y''+1) - 2(y+t)(y'+1)^2 e^{-(y+t)^2}=0。代入t=0, y=0, y'(0)=0得y''(0)+1=0，所以y''(0)=-1。
公式：d/dt ∫_0^{y+t} e^{-u^2} du = e^{-(y+t)^2} (y'+1)
提示：注意复合函数求导，积分上限是y+t。
步骤 3/4
目标：求x对t的导数在t=0处的值
由x=t^3+2t+1，得x'=3t^2+2，x''=6t。代入t=0得x'(0)=2，x''(0)=0。
步骤 4/4
目标：计算二阶导数d²y/dx²在t=0处的值
由参数方程求导公式，dy/dx = y'/x'，d²y/dx² = (y''x' - y'x'')/(x')^3。代入t=0时y'(0)=0, y''(0)=-1, x'(0)=2, x''(0)=0，得d²y/dx² = (-1*2 - 0)/(2^3) = -2/8 = -1/3。
公式：d²y/dx² = (y''x' - y'x'')/(x')^3
提示：注意分母是x'的三次方。
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