kaoyan1basic 高等数学 第86题
📝 题目
### 第86题 设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\mathrm{e}^{x y}+x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(1,0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x,y) = \frac{x^2+y^2}{e^{xy} + xy\sqrt{x^2+y^2}}$，求$f_x'(1,0)$。 步骤2：先求偏导函数$\displaystyle f_x' = \frac{(2x)(e^{xy}+xy\sqrt{x^2+y^2}) - (x^2+y^2)(y e^{xy} + y\sqrt{x^2+y^2} + \frac{x^2 y}{\sqrt{x^2+y^2}})}{(e^{xy}+xy\sqrt{x^2+y^2})^2}$。 步骤3：代入$(1,0)$，分母$e^0 + 0 = 1$，分子$2 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot (0 + 0 + 0) = 2$，故$f_x'(1,0)=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求偏导函数 f_x'(x,y)
对 f(x,y) 关于 x 求偏导，使用商法则：f_x' = ( (2x)(e^{xy}+xy√(x^2+y^2)) - (x^2+y^2)(y e^{xy} + y√(x^2+y^2) + (x^2 y)/√(x^2+y^2) ) ) / (e^{xy}+xy√(x^2+y^2))^2
公式：商法则: (u/v)'_x = (u_x v - u v_x)/v^2
提示：注意对 xy√(x^2+y^2) 求导时，需使用乘法法则和链式法则。
步骤 2/2
目标：代入点 (1,0) 计算 f_x'(1,0)
代入 x=1, y=0：分母 e^{0}+0=1；分子 2*1*1 - 1*(0+0+0)=2，所以 f_x'(1,0)=2
提示：代入时注意简化：e^{0}=1，含 y 的项均为0。
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