kaoyan1basic 高等数学 第87题
📝 题目
### 第87题 设 $z=\mathrm{e}^{x}+y^{2}+f(x+y)$ ，且当 $y=0$ 时，$z=x^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$。 ## Q
纠错笔记 ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
💡 答案解析
**答案**：$e^x + 3x^2 - 1$ **解析**： 步骤1：$z = e^x + y^2 + f(x+y)$，当$y=0$时，$z = e^x + f(x) = x^3$，故$f(x) = x^3 - e^x$。 步骤2：则$f(x+y) = (x+y)^3 - e^{x+y}$，代入得$z = e^x + y^2 + (x+y)^3 - e^{x+y}$。 步骤3：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = e^x + 3(x+y)^2 - e^{x+y}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用已知条件确定函数 f 的形式
已知 z = e^x + y^2 + f(x+y)，当 y=0 时，z = x^3。代入 y=0 得：z = e^x + f(x) = x^3，所以 f(x) = x^3 - e^x。
公式：f(x) = x^3 - e^x
提示：注意变量替换：将 x+y 视为整体。
步骤 2/3
目标：将 f(x+y) 代入原表达式
由 f(x) = x^3 - e^x，得 f(x+y) = (x+y)^3 - e^{x+y}。代入 z 得：z = e^x + y^2 + (x+y)^3 - e^{x+y}。
公式：z = e^x + y^2 + (x+y)^3 - e^{x+y}
提示：注意指数函数的复合。
步骤 3/3
目标：对 x 求偏导数
对 z 关于 x 求偏导：∂z/∂x = e^x + 3(x+y)^2 - e^{x+y}。
公式：∂z/∂x = e^x + 3(x+y)^2 - e^{x+y}
提示：求导时 y 视为常数。
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