kaoyan1basic 高等数学 第88题
📝 题目
### 第88题 设 $z=(x-2 y)^{y-2 x}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$ $\_\_\_\_$ ． 纠错笔记 89 设 $f(x, y)=\ln |x+y|-\sin (x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值为 $\_\_\_\_$ ． －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$z = (x-2y)^{y-2x}$，取对数$\ln z = (y-2x)\ln(x-2y)$。 步骤2：两边对$x$求偏导，$\displaystyle \frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x} = -2\ln(x-2y) + (y-2x)\cdot \frac{1}{x-2y}$。 步骤3：代入$x=1, y=0$，此时$z = 1^{0-2} = 1$，$\ln(x-2y)=\ln1=0$，$(y-2x)/(x-2y) = (0-2)/(1-0) = -2$，故$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 1 \cdot (0 + (-2)) = -2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将幂指函数转化为对数形式，便于求导
设 z = (x-2y)^{y-2x}，两边取自然对数得 ln z = (y-2x) ln(x-2y)。
公式：ln z = (y-2x) ln(x-2y)
提示：幂指函数求导常用取对数法。
步骤 2/3
目标：对等式两边关于 x 求偏导
将 ln z 视为 x 的函数，两边对 x 求偏导：左边为 (1/z) * (∂z/∂x)，右边使用乘积法则：∂/∂x[(y-2x) ln(x-2y)] = -2 ln(x-2y) + (y-2x) * (1/(x-2y))。
公式：(1/z) * (∂z/∂x) = -2 ln(x-2y) + (y-2x)/(x-2y)
提示：注意 y 视为常数，对 x 求导时 (y-2x)' = -2，ln(x-2y) 的导数为 1/(x-2y)。
步骤 3/3
目标：代入 x=1, y=0 计算偏导数值
代入 x=1, y=0：z = (1-0)^{0-2} = 1^{-2} = 1；ln(x-2y) = ln(1) = 0；(y-2x)/(x-2y) = (0-2)/(1-0) = -2。因此 (1/1) * (∂z/∂x) = 0 + (-2) = -2，所以 ∂z/∂x = -2。
公式：∂z/∂x = z * [ -2 ln(x-2y) + (y-2x)/(x-2y) ]
提示：代入时先计算 z 的值，注意 1 的任何次幂为 1。
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