kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．曲线 $y(x)=\ln \left|\mathrm{e}^{2 x}-1\right|$ 的斜渐近线为 ． （A）$\displaystyle y=2 x+\frac{1}{\mathrm{e}}$ （B）$y=2 x$ （C）$\displaystyle y=-2 x+\frac{1}{\mathrm{e}}$ （D）$y=-2 x$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：求斜渐近线 $y=kx+b$，其中 $\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\frac{y(x)}{x}$，$b=\lim_{x\to\infty}[y(x)-kx]$。 步骤2：当 $x\to+\infty$，$y=\ln(e^{2x}-1)\sim 2x$，故 $k=2$，$b=\lim_{x\to+\infty}[\ln(e^{2x}-1)-2x]=\lim_{x\to+\infty}\ln(1-e^{-2x})=0$。 步骤3：当 $x\to-\infty$，$e^{2x}\to0$，$y=\ln(1-e^{2x})\sim -e^{2x}$，无斜渐近线。 步骤4：故斜渐近线为 $y=2x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定斜渐近线的形式并写出斜率公式
设斜渐近线方程为 y = kx + b，其中斜率 k = lim_{x→∞} y(x)/x，截距 b = lim_{x→∞} [y(x) - kx]。
公式：k = lim_{x→∞} y(x)/x, b = lim_{x→∞} [y(x) - kx]
提示：注意区分 x→+∞ 和 x→-∞ 的情况，因为函数在不同方向的行为可能不同。
步骤 2/4
目标：计算 x→+∞ 时的斜渐近线
当 x→+∞ 时，e^{2x} 远大于 1，所以 y = ln(e^{2x} - 1) ≈ ln(e^{2x}) = 2x。因此 k = lim_{x→+∞} (2x)/x = 2。然后计算 b = lim_{x→+∞} [ln(e^{2x} - 1) - 2x] = lim_{x→+∞} ln(1 - e^{-2x}) = ln(1) = 0。
公式：b = lim_{x→+∞} ln(1 - e^{-2x}) = 0
提示：利用等价无穷小或对数性质简化极限。
步骤 3/4
目标：计算 x→-∞ 时的斜渐近线
当 x→-∞ 时，e^{2x} → 0，所以 y = ln(1 - e^{2x}) ≈ -e^{2x}（因为 ln(1+u) ~ u 当 u→0）。此时 y/x → 0，因此没有斜渐近线。
公式：y ~ -e^{2x} 当 x→-∞
提示：注意 x→-∞ 时，y 趋于 0，但斜率趋于 0，所以没有斜渐近线。
步骤 4/4
目标：得出结论
综合以上，曲线只有一条斜渐近线 y = 2x，对应选项 B。
提示：检查选项，确保答案正确。
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