kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．曲线 $\displaystyle y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right)$ 的斜渐近线为 ． （A）$y=x+e$ （B）$y=x-e$ （C）$\displaystyle y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$ （D）$\displaystyle y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：求 $\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to\infty}\ln\left(e+\frac{1}{x}\right)=1$。 步骤2：求 $\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}(y-x)=\lim_{x\to\infty}x\left[\ln\left(e+\frac{1}{x}\right)-1\right]=\lim_{t\to0}\frac{\ln(e+t)-1}{t}$（令 $t=1/x$）。 步骤3：由洛必达法则，$\displaystyle b=\lim_{t\to0}\frac{1/(e+t)}{1}=\frac{1}{e}$。 步骤4：故斜渐近线为 $\displaystyle y=x+\frac{1}{e}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求斜率k
计算极限 k = lim_{x→∞} y/x = lim_{x→∞} ln(e + 1/x) = ln(e) = 1。
公式：k = lim_{x→∞} y/x
提示：注意极限运算中，1/x趋于0，ln(e+0)=1。
步骤 2/4
目标：求截距b
计算极限 b = lim_{x→∞} (y - x) = lim_{x→∞} x[ln(e + 1/x) - 1]。令 t = 1/x，则 x = 1/t，当 x→∞ 时 t→0+，所以 b = lim_{t→0+} [ln(e+t) - 1]/t。
公式：b = lim_{x→∞} (y - x)
提示：变量代换 t=1/x 简化极限形式。
步骤 3/4
目标：计算b的极限
应用洛必达法则：分子导数 1/(e+t)，分母导数 1，所以 b = lim_{t→0+} [1/(e+t)] / 1 = 1/e。
公式：b = lim_{t→0} [ln(e+t)-1]/t = lim_{t→0} 1/(e+t) = 1/e
提示：洛必达法则适用条件：0/0型未定式。
步骤 4/4
目标：写出斜渐近线方程
斜渐近线方程为 y = kx + b = x + 1/e。
公式：y = x + 1/e
提示：注意常数项为1/e，不是e。
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