kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．曲线 $x^{2}-x y+y^{2}=1$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率为 $\_\_\_\_$ ．
第5䈇 一元图数微分学的应用（一）—一几何应用
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$ **解析**： 步骤1：隐函数求导，$2x-y-xy'+2yy'=0$，代入 $(1,1)$ 得 $2-1-y'+2y'=0$，解得 $y'=-1$。 步骤2：再求导，$2-y'-y'-xy''+2(y')^2+2yy''=0$，代入 $x=1,y=1,y'=-1$ 得 $2-(-1)-(-1)-y''+2\cdot1+2y''=0$，即 $2+1+1-y''+2+2y''=0$，$6+y''=0$，$y''=-6$。 步骤3：曲率公式 $\displaystyle K=\frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}=\frac{6}{(1+1)^{3/2}}=\frac{6}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求一阶导数 y' 在点 (1,1) 处的值
对方程 x^2 - xy + y^2 = 1 两边关于 x 求导，得 2x - y - x y' + 2y y' = 0。代入 x=1, y=1，得 2 - 1 - y' + 2y' = 0，解得 y' = -1。
公式：隐函数求导法则
提示：注意对 xy 求导时使用乘积法则，得到 y + x y'。
步骤 2/3
目标：求二阶导数 y'' 在点 (1,1) 处的值
对一阶导数结果 2x - y - x y' + 2y y' = 0 再次求导，得 2 - y' - y' - x y'' + 2(y')^2 + 2y y'' = 0。代入 x=1, y=1, y'=-1，得 2 - (-1) - (-1) - y'' + 2*1 + 2y'' = 0，即 2+1+1 - y'' + 2 + 2y'' = 0，6 + y'' = 0，解得 y'' = -6。
公式：隐函数二阶求导
提示：注意对 y' 求导时，y' 是 x 的函数，需再次使用链式法则。
步骤 3/3
目标：利用曲率公式计算曲率
曲率公式 K = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)。代入 y' = -1, y'' = -6，得 K = 6 / (1+1)^(3/2) = 6 / (2√2) = 3/√2 = (3√2)/2。
公式：K = |y''| / (1 + (y')^2)^(3/2)
提示：注意绝对值，曲率非负。
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