kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．已知曲线 $y=f(x)$ 在其点 $(0,1)$ 处的曲率团方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=2$ ，且当 $x \rightarrow 0$ 时，二阶可导画数 $f(x)$ 与 $a+b x+x^{2}$ 的差为 $o\left(x^{2}\right)$ ，则（ ）。 （A）$\displaystyle a=0, b=1, c=\frac{3}{2}$ （B）$a-1, b=0, c=1$ （C）$a=1, b=1, c=-1$ （D）$a-1, b=0, c=-1$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：曲率圆方程 $(x-1)^2+y^2=2$，圆心 $(1,0)$，半径 $R=\sqrt{2}$，曲率 $K=1/R=1/\sqrt{2}$。 步骤2：曲率公式 $\displaystyle K=\frac{|f''(0)|}{(1+[f'(0)]^2)^{3/2}}$，且点 $(0,1)$ 在曲线上，故 $f(0)=1$。 步骤3：由 $f(x)=a+bx+cx^2+o(x^2)$，得 $f(0)=a=1$，$f'(0)=b$，$f''(0)=2c$。 步骤4：代入曲率公式 $\displaystyle \frac{|2c|}{(1+b^2)^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，且由曲率圆性质，法线过圆心，斜率 $\displaystyle k=\frac{1-0}{0-1}=-1$，故 $f'(0)=1$（切线斜率 $-1$ 的负倒数），得 $b=1$。 步骤5：代入得 $\displaystyle \frac{|2c|}{(2)^{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，即 $\displaystyle \frac{|2c|}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$|2c|=2$，$c=\pm1$。由拐点条件或选项得 $c=-1$。 **难度**：★★★★☆