kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设在 $(-\infty,+\infty)$ 内，$f^{\prime \prime}(x)<0, f(0) \geqslant 0$ ，则函数 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}(\quad)$ 。 （A）在 $(-\infty, 0)$ 内单调减少，在 $(0,+\infty)$ 内单调增加 （B）在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0,+\infty)$ 内单调减少 （C）在 $(-\infty, 0)$ 内单调增加，在 $(0,+\infty)$ 内单调减少 （D）在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0,+\infty)$ 内单调增加
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：令 $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$，则 $\displaystyle g'(x)=\frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}$。 步骤2：设 $h(x)=xf'(x)-f(x)$，则 $h'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)$。 步骤3：由 $f''(x)<0$，当 $x>0$ 时 $h'(x)<0$，$h(x)$ 递减；当 $x<0$ 时 $h'(x)>0$，$h(x)$ 递增。 步骤4：$h(0)=0\cdot f'(0)-f(0)=-f(0)\leq0$，故 $x>0$ 时 $h(x)<0$，$g'(x)<0$；$x<0$ 时 $h(x)<0$，$g'(x)<0$。 步骤5：但 $g(x)$ 在 $x=0$ 处无定义，需考虑单调性：$x<0$ 时 $g'(x)>0$？重新分析：$h(0)\leq0$，$x<0$ 时 $h'(x)>0$，$h(x)