kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设 $f(x)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=k(k<0)$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处（ ）。 （A）导数不存在 （B）导数存在，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$ （C）取得极小值 （D）取得极大值
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=k<0$，得 $f(0)=0$，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近与 $kx^2$ 同号。 步骤2：因 $k<0$，$x^2>0$，故 $f(x)<0$ 在 $x=0$ 附近（除 $x=0$ 外）。 步骤3：由极值定义，$f(0)=0$ 大于邻域内 $f(x)$，故 $x=0$ 为极大值点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定f(0)的值
由极限存在且为k，分母趋于0，分子必须趋于0，故f(0)=0。
公式：lim_{x→0} f(x)/x^2 = k ⇒ f(0)=0
提示：利用极限性质：分母趋于0时，分子也趋于0。
步骤 2/3
目标：分析f(x)在x=0附近的符号
由于k<0，且x^2>0，由极限的保号性，在x=0的某去心邻域内，f(x)/x^2 < 0，故f(x)<0。
公式：lim_{x→0} f(x)/x^2 = k < 0 ⇒ 存在δ>0，当0<|x|<δ时，f(x)/x^2 < 0 ⇒ f(x) < 0
提示：注意极限的保号性：若极限小于0，则函数在邻域内也小于0。
步骤 3/3
目标：判断极值
由f(0)=0，且在x=0的去心邻域内f(x)<0，即f(0) > f(x)，故x=0是极大值点。
公式：极值定义：若存在δ>0，当0<|x-0|<δ时，f(x) < f(0)，则f(0)为极大值。
提示：极值定义：比较函数值与邻域内其他点的函数值。
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