kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（选择题） 13．设 $M=\max \{1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}\}(n>4)$ ，则 $M=()$ 。 （A）$\sqrt{2}$ （B）$\sqrt[3]{3}$ （C）$\sqrt[4]{4}$ （D）$\sqrt[n]{n}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：考虑函数 $f(x)=\sqrt[x]{x}=x^{1/x}$，取对数 $\displaystyle \ln f(x)=\frac{\ln x}{x}$。 步骤2：求导 $\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1-\ln x}{x^2}$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=e$。 步骤3：$x=e$ 时 $f(x)$ 取最大值，$f(e)=e^{1/e}\approx1.4447$，比较 $\sqrt{2}\approx1.4142$，$\sqrt[3]{3}\approx1.4422$，$\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}\approx1.4142$，故最大值为 $\sqrt[3]{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将问题转化为函数最值问题
考虑函数 f(x)=x^(1/x) (x>0)，则数列项 √[n]{n} 对应 f(n)。求 M 即求 f(x) 在 x≥1 上的最大值。
公式：f(x)=x^{1/x}
提示：取对数简化求导
步骤 2/3
目标：求导数并找到极值点
取 ln f(x)=ln x / x，求导得 f'(x)/f(x)=(1-ln x)/x^2，令 f'(x)=0 得 1-ln x=0，即 x=e。
公式：f'(x)=f(x)*(1-ln x)/x^2
提示：导数零点为 x=e
步骤 3/3
目标：比较极值点附近的函数值
计算 f(e)=e^(1/e)≈1.4447，f(2)=√2≈1.4142，f(3)=∛3≈1.4422，f(4)=4^(1/4)=√2≈1.4142。由于 n>4，且 f(x) 在 x>e 时递减，故最大值为 f(3)=∛3。
提示：注意 n>4 时 f(n) 小于 f(3)
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