kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（填空题） 14．设函数 $\displaystyle f(x)=n^{2} \mathrm{e}^{\frac{x}{n}}-(1+n) x$ ，若 $f(x)$ 在 $x=\xi_{n}$ 处取得极值，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle f'(x)=n^2\cdot\frac{1}{n}e^{x/n}-(1+n)=n e^{x/n}-(1+n)$。 步骤2：令 $f'(\xi_n)=0$，得 $n e^{\xi_n/n}=1+n$，即 $\displaystyle e^{\xi_n/n}=1+\frac{1}{n}$。 步骤3：取对数得 $\displaystyle \frac{\xi_n}{n}=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$，故 $\displaystyle \xi_n=n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$。 步骤4：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\xi_n=\lim_{n\to\infty}n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求导数 f'(x)
对 f(x)=n^2 e^{x/n} - (1+n)x 求导，得到 f'(x)=n^2 * (1/n) e^{x/n} - (1+n) = n e^{x/n} - (1+n)。
公式：f'(x)=n e^{x/n} - (1+n)
提示：注意指数函数的求导法则：d/dx e^{ax}=a e^{ax}。
步骤 2/4
目标：令导数为零，解出极值点条件
令 f'(ξ_n)=0，得 n e^{ξ_n/n} - (1+n)=0，即 n e^{ξ_n/n}=1+n，两边除以 n 得 e^{ξ_n/n}=1+1/n。
公式：e^{ξ_n/n}=1+1/n
提示：注意将常数项移到等式右边。
步骤 3/4
目标：取对数解出 ξ_n
对等式两边取自然对数，得 ξ_n/n = ln(1+1/n)，所以 ξ_n = n ln(1+1/n)。
公式：ξ_n = n ln(1+1/n)
提示：取对数时注意 ln(e^a)=a。
步骤 4/4
目标：求极限 lim_{n→∞} ξ_n
计算极限 lim_{n→∞} n ln(1+1/n)。令 t=1/n，则 n→∞ 时 t→0，极限化为 lim_{t→0} (ln(1+t))/t = 1（利用等价无穷小或洛必达法则）。
公式：lim_{n→∞} n ln(1+1/n)=1
提示：常用极限：lim_{x→0} ln(1+x)/x=1。
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