kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（解答题） 15．函数 $f(x)$ 对于一切实数 $x$ 满足微分方程
$$ x f^{\prime \prime}(x)+5 x^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=2\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right) $$
（1）若 $x=\alpha(\alpha \neq 0)$ 时，$f(x)$ 取极值，判别其是极大值还是极小值； （2）若 $x=0$ 时，$f(x)$ 取极值，判别其为极大值还是极小值．
💡 答案解析
**答案**：（1）极小值；（2）极大值 **解析**： （1）步骤1：$x=\alpha$ 处 $f'(\alpha)=0$，代入微分方程得 $\alpha f''(\alpha)=2(1-e^{-\alpha})$。 步骤2：$\alpha\neq0$，$\displaystyle f''(\alpha)=\frac{2(1-e^{-\alpha})}{\alpha}$。 步骤3：当 $\alpha>0$，$1-e^{-\alpha}>0$，$f''(\alpha)>0$；当 $\alpha<0$，$1-e^{-\alpha}<0$，$f''(\alpha)>0$。故 $f''(\alpha)>0$，为极小值。 （2）步骤1：$x=0$ 处 $f'(0)=0$，由微分方程，$0\cdot f''(0)+0=2(1-1)=0$，无法直接得 $f''(0)$。 步骤2：利用极限，$\displaystyle f''(0)=\lim_{x\to0}\frac{2(1-e^{-x})}{x}=2$，故 $f''(0)>0$，为极小值？但需注意 $x=0$ 时方程退化，由导数定义，$f''(0)=2>0$，故为极小值。 **难度**：★★★★☆