kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续，$f(x)$ 具有一阶连续导数，且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}=-3, f^{\prime}(x)= \ln \left(1+x^{2}\right)-x \int_{0}^{1} g(x t) \mathrm{d} t$ ，则（ ）。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点 （B）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点 （C）$(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点 （D）以上结论均不正确
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{g(x)}{x}=-3$，得 $g(0)=0$，$g'(0)=-3$。 步骤2：$f'(x)=\ln(1+x^2)-x\int_0^1 g(xt)dt$，令 $u=xt$，则 $\displaystyle \int_0^1 g(xt)dt=\frac{1}{x}\int_0^x g(u)du$，故 $f'(x)=\ln(1+x^2)-\int_0^x g(u)du$。 步骤3：$f'(0)=0$，$\displaystyle f''(x)=\frac{2x}{1+x^2}-g(x)$，$f''(0)=0-g(0)=0$。 步骤4：$\displaystyle f'''(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot2x}{(1+x^2)^2}-g'(x)=\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}-g'(x)$，$f'''(0)=2-(-3)=5\neq0$，故 $(0,f(0))$ 为拐点。 **难度**：★★★★☆