kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（选择题） 17．已知函数 $y=f(x)$ ，对一切 $x$ 满足 $\sqrt[3]{x} f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}-1$ ，若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\left(x_{0} \neq 0\right)$ ，则 （ ）． （A）$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点 （B）$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极大值点 （C）$\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点 （D）以上结论均不正确
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由方程 $\sqrt[3]{x}f''(x)+xf'(x)=e^{-x}-1$，代入 $x=x_0$，$f'(x_0)=0$，得 $\sqrt[3]{x_0}f''(x_0)=e^{-x_0}-1$。 步骤2：$x_0\neq0$，故 $\displaystyle f''(x_0)=\frac{e^{-x_0}-1}{\sqrt[3]{x_0}}$。 步骤3：当 $x_0>0$，$e^{-x_0}-1<0$，$f''(x_0)<0$；当 $x_0<0$，$e^{-x_0}-1>0$，$f''(x_0)<0$。故 $f''(x_0)<0$，为极大值点？但选项无极大值，检查：$f''(x_0)<0$ 表明 $x_0$ 为极大值点，但选项C为拐点，矛盾。重新计算：$\displaystyle f''(x_0)=\frac{e^{-x_0}-1}{\sqrt[3]{x_0}}$，$x_0>0$ 时分子负分母正，$f''<0$；$x_0<0$ 时分子正分母负，$f''<0$，故 $f''(x_0)<0$，为极大值点，但选项无，可能题目有误。 **难度**：★★★★☆