kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（解答题） 18．已知函数 $f(x)=a x^{3}+x^{2}+2$ 在 $x=0$ 和 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的增减区间、极大值、极小值和拐点。
💡 答案解析
**答案**：增区间 $(-\infty,-1)$ 和 $(0,+\infty)$，减区间 $(-1,0)$；极大值 $f(-1)=3$，极小值 $f(0)=2$；拐点 $\displaystyle (-\frac{1}{3},\frac{52}{27})$ **解析**： 步骤1：$f(x)=ax^3+x^2+2$，$f'(x)=3ax^2+2x$。由极值点 $x=0$ 和 $x=-1$，得 $f'(0)=0$ 恒成立，$f'(-1)=3a-2=0$，解得 $\displaystyle a=\frac{2}{3}$。 步骤2：$f'(x)=2x^2+2x=2x(x+1)$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=-1,0$。 步骤3：$f''(x)=4x+2$，$f''(-1)=-2<0$，极大值 $\displaystyle f(-1)=-\frac{2}{3}+1+2=\frac{7}{3}$？计算：$\displaystyle f(-1)=\frac{2}{3}(-1)+1+2=-\frac{2}{3}+3=\frac{7}{3}$；$f''(0)=2>0$，极小值 $f(0)=2$。 步骤4：$f'(x)>0$ 得 $x<-1$ 或 $x>0$，增区间；$f'(x)<0$ 得 $-1
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定参数a的值
求导得 f'(x)=3ax^2+2x。由极值点 x=0 和 x=-1 得 f'(0)=0 恒成立，f'(-1)=3a-2=0，解得 a=2/3。
公式：f'(x)=3ax^2+2x
提示：极值点处导数为0
步骤 2/5
目标：求导函数并解临界点
代入a得 f'(x)=2x^2+2x=2x(x+1)，令 f'(x)=0 得 x=-1,0。
公式：f'(x)=2x(x+1)
提示：因式分解求根
步骤 3/5
目标：判断极值类型并计算极值
求二阶导 f''(x)=4x+2。f''(-1)=-2<0，故 x=-1 处取极大值 f(-1)=2/3*(-1)+1+2=7/3；f''(0)=2>0，故 x=0 处取极小值 f(0)=2。
公式：f''(x)=4x+2
提示：二阶导大于0为极小，小于0为极大
步骤 4/5
目标：确定单调区间
f'(x)>0 得 x<-1 或 x>0，增区间 (-∞,-1) 和 (0,+∞)；f'(x)<0 得 -1
提示：导数为正递增，为负递减
步骤 5/5
目标：求拐点
令 f''(x)=0 得 x=-1/3，代入原函数得 f(-1/3)=2/3*(-1/27)+1/9+2=52/27，拐点为 (-1/3, 52/27)。
公式：f''(x)=0
提示：拐点处二阶导为0且变号
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