kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【基础篇】第19题（选择题） 19．设 $f(x)=n x(1-x)^{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{n}\right)$ ，且记 $M(n)=\max _{x \in[0,1]} f(x)$ ，则必有（ ）。 （A） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\mathrm{e}$ （B） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\frac{1}{\mathrm{e}}$ （C） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=0$ （D） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\infty$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：求最大值点。令$f'(x)=n(1-x)^{n-1}[1-(n+1)x]=0$，得$\displaystyle x=\frac{1}{n+1}$。 步骤2：计算最大值$\displaystyle M(n)=f\left(\frac{1}{n+1}\right)=n\cdot\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\frac{n}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$。 步骤3：求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}M(n)=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=1\cdot\frac{1}{\mathrm{e}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$。 **难度**：★★☆☆☆