kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【基础篇】第20题（选择题） 20．曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ 的渐近线的条数为（ ． （A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：定义域为$|x|>1$，有铅直渐近线$x=\pm1$。 步骤2：求水平渐近线：$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}=\infty$，无水平渐近线。 步骤3：求斜渐近线：$\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=1$，$\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}(y-x)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}-x=0$，故$y=x$为一条斜渐近线；同理$x\to-\infty$时$k=-1$，$b=0$，得$y=-x$。共3条渐近线。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定定义域和铅直渐近线
由根号内 x^2-1>0 得 |x|>1，定义域为 (-∞,-1)∪(1,+∞)。考虑 x→±1 时，分母趋于0，分子趋于2，故 y→∞，所以 x=1 和 x=-1 为铅直渐近线。
提示：注意定义域边界点可能产生铅直渐近线。
步骤 2/4
目标：判断水平渐近线
计算 lim_{x→∞} y = lim_{x→∞} (x^2+1)/√(x^2-1) = ∞，同理 x→-∞ 也是无穷，故无水平渐近线。
提示：水平渐近线要求极限为常数。
步骤 3/4
目标：求斜渐近线（x→+∞）
计算斜率 k = lim_{x→+∞} y/x = lim_{x→+∞} (x^2+1)/(x√(x^2-1)) = 1。截距 b = lim_{x→+∞} (y - kx) = lim_{x→+∞} ((x^2+1)/√(x^2-1) - x) = 0。故 y=x 为一条斜渐近线。
公式：k = lim_{x→∞} y/x, b = lim_{x→∞} (y - kx)
提示：注意 x→+∞ 和 x→-∞ 可能不同。
步骤 4/4
目标：求斜渐近线（x→-∞）
计算斜率 k = lim_{x→-∞} y/x = lim_{x→-∞} (x^2+1)/(x√(x^2-1)) = -1（因为 x 为负，√(x^2-1) 为正）。截距 b = lim_{x→-∞} (y - (-1)x) = lim_{x→-∞} ((x^2+1)/√(x^2-1) + x) = 0。故 y=-x 为另一条斜渐近线。
提示：注意 x→-∞ 时，x 为负，处理符号。
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