kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 【基础篇】第21题（选择题） 21．曲线 $\displaystyle y=\frac{2+\mathrm{e}^{-x^{4}}}{1-\mathrm{e}^{-x^{4}}}$ ）． （A）仅有斜渐近线 （B）仅有水平渐近线 （C）仅有铅直渐近线 （D）既有水平渐近线，又有铅直渐近线
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：求水平渐近线：$\displaystyle \lim_{x\to\infty}y=\frac{2+0}{1-0}=2$，$y=2$为水平渐近线。 步骤2：求铅直渐近线：当$x\to0$时，$1-\mathrm{e}^{-x^4}\sim x^4\to0$，$y\to\infty$，故$x=0$为铅直渐近线。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求水平渐近线
计算极限 lim_{x→∞} y = lim_{x→∞} (2+e^{-x^4})/(1-e^{-x^4}) = (2+0)/(1-0)=2，因此 y=2 为水平渐近线。
公式：lim_{x→∞} e^{-x^4}=0
提示：注意 x→∞ 时 e^{-x^4}→0
步骤 2/2
目标：求铅直渐近线
考虑分母为零的点：1-e^{-x^4}=0 ⇒ e^{-x^4}=1 ⇒ x=0。当 x→0 时，1-e^{-x^4} ~ x^4 →0，分子→3，因此 y→∞，故 x=0 为铅直渐近线。
公式：1-e^{-x^4} ~ x^4 (x→0)
提示：利用等价无穷小：1-e^u ~ -u (u→0)，这里 u=-x^4
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