kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【基础篇】第22题（填空题） 22．曲线 $\displaystyle y=(4+5 x) \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ 的斜渐近线是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y=5x+4$ **解析**： 步骤1：计算斜率$\displaystyle k=\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{4+5x}{x}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{4}{x}+5\right)\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}=5$。 步骤2：计算截距$\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}(y-5x)=\lim_{x\to\infty}[(4+5x)\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}-5x]$，令$\displaystyle t=\frac{1}{x}$，则$\displaystyle b=\lim_{t\to0}\frac{(4+5/t)\mathrm{e}^{-t}-5/t}{1/t}=\lim_{t\to0}(4t+5)\mathrm{e}^{-t}-5=4$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算斜率 k
斜渐近线方程为 y = kx + b，其中 k = lim_{x→∞} y/x。代入 y = (4+5x)e^{-1/x}，得 k = lim_{x→∞} ((4+5x)/x) e^{-1/x} = lim_{x→∞} (4/x + 5) e^{-1/x} = 5。
公式：k = lim_{x→∞} y/x
提示：注意 e^{-1/x} → 1 当 x→∞。
步骤 2/2
目标：计算截距 b
b = lim_{x→∞} (y - kx) = lim_{x→∞} [(4+5x)e^{-1/x} - 5x]。令 t = 1/x，则 x = 1/t，当 x→∞ 时 t→0。代入得 b = lim_{t→0} [(4+5/t)e^{-t} - 5/t] / (1/t) = lim_{t→0} (4t+5)e^{-t} - 5 = 4。
公式：b = lim_{x→∞} (y - kx)
提示：换元 t=1/x 简化极限计算。
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