kaoyan1basic 高等数学 第23题
📝 题目
### 【基础篇】第23题（填空题） 23．曲线 $y=x^{2}+x$ 在点 $(-1,0)$ 的曲率是 $\_\_\_\_$ ．
## 第6章 一元函数微分学的应用（二）——中值定理、微分等式与微分不等式
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ **解析**： 步骤1：计算一阶导数$y'=2x+1$，在$(-1,0)$处$y'=-1$。 步骤2：计算二阶导数$y''=2$。 步骤3：曲率公式$\displaystyle K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}=\frac{2}{(1+1)^{3/2}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算一阶导数
对曲线方程 y = x^2 + x 求导，得到 y' = 2x + 1。代入点 (-1,0)，得 y'(-1) = -1。
公式：y' = 2x + 1
提示：注意求导法则：幂函数求导公式。
步骤 2/3
目标：计算二阶导数
对一阶导数再求导，得到 y'' = 2。
公式：y'' = 2
提示：常数函数的导数为0。
步骤 3/3
目标：应用曲率公式计算曲率
曲率公式 K = |y''| / (1 + y'^2)^(3/2)。代入 y' = -1, y'' = 2，得 K = 2 / (1 + 1)^(3/2) = 2 / (2^(3/2)) = 2 / (2√2) = √2 / 2。
公式：K = |y''| / (1 + y'^2)^(3/2)
提示：注意分母是 (1 + y'^2) 的 3/2 次方，计算时小心指数运算。
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