kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设函数 $f(x)=x(2 x-3)(4 x-5)$ ，则方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的实根个数为（ ）． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f(x)=x(2x-3)(4x-5)$为三次多项式，有三个实根$\displaystyle x=0,\frac{3}{2},\frac{5}{4}$。 步骤2：由罗尔定理，$f'(x)=0$在每两个相邻根之间至少有一个实根，故至少有2个实根。 步骤3：$f'(x)$为二次多项式，最多有2个实根，故恰有2个。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定f(x)的因式分解和根
f(x)=x(2x-3)(4x-5)为三次多项式，因式分解后得到三个实根：x=0, x=3/2, x=5/4。
公式：f(x)=x(2x-3)(4x-5)
提示：注意因式分解后每个因子对应一个根。
步骤 2/3
目标：应用罗尔定理判断f'(x)=0的根的存在性
由于f(x)在三个根之间连续可导，由罗尔定理，在每两个相邻根之间至少存在一点使得f'(x)=0，因此f'(x)=0至少有两个实根。
公式：罗尔定理：若f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)使f'(ξ)=0
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续，开区间可导。
步骤 3/3
目标：确定f'(x)的次数和最多实根个数
f(x)是三次多项式，其导数f'(x)是二次多项式，最多有两个实根。结合至少有两个实根，故恰有两个实根。
公式：n次多项式最多有n个实根
提示：二次多项式最多有两个实根。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。