kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．已知函数 $\displaystyle f(x)=a\left(\ln |x|+\frac{3}{2}\right)-b x^{2}$ 有 4 个不同的零点，则 $\displaystyle \frac{b}{a}$ 的取值范围是（ ）。 （A）$\displaystyle \left(0, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ （B）$\displaystyle \left(\frac{\mathrm{e}}{2},+\infty\right)$ （C）$\displaystyle \left(0, \frac{\mathrm{e}^{2}}{2}\right)$ （D）$\displaystyle \left(\frac{\mathrm{e}^{2}}{2},+\infty\right)$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：令$f(x)=0$得$\displaystyle a\left(\ln|x|+\frac{3}{2}\right)=bx^2$，即$\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{\ln|x|+\frac{3}{2}}{x^2}$。 步骤2：设$\displaystyle g(x)=\frac{\ln|x|+\frac{3}{2}}{x^2}$，为偶函数，考虑$x>0$。$\displaystyle g'(x)=\frac{1-2\ln x-3}{x^3}=\frac{-2\ln x-2}{x^3}$，令$g'(x)=0$得$\displaystyle x=\frac{1}{\mathrm{e}}$。 步骤3：$\displaystyle g\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=\frac{-1+\frac{3}{2}}{1/\mathrm{e}^2}=\frac{\mathrm{e}^2}{2}$，且$\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty$，$\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$。有4个零点需$\displaystyle \frac{b}{a}>\frac{\mathrm{e}^2}{2}$。 **难度**：★★★☆☆