kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．若方程 $x-\operatorname{eln} x-k=0$ 在 $(0,1]$ 上有解，则 $k$ 的最小值为（ ）． （A）-1 （B）$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$ （C） 1 （D） e
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：方程化为$x-\mathrm{e}\ln x=k$，设$g(x)=x-\mathrm{e}\ln x$，$x\in(0,1]$。 步骤2：$\displaystyle g'(x)=1-\frac{\mathrm{e}}{x}$，令$g'(x)=0$得$x=\mathrm{e}\notin(0,1]$，在$(0,1]$上$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减。 步骤3：$g(1)=1$，$\lim_{x\to0^+}g(x)=+\infty$，故$k$的最小值为$g(1)=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将方程转化为函数形式
将原方程 $x - e\ln x - k = 0$ 改写为 $x - e\ln x = k$，并设函数 $g(x) = x - e\ln x$，定义域为 $(0,1]$。
公式：$g(x) = x - e\ln x$
提示：分离参数 $k$，将方程有解问题转化为函数值域问题。
步骤 2/4
目标：求导判断单调性
对 $g(x)$ 求导得 $g'(x) = 1 - \frac{e}{x}$。令 $g'(x)=0$ 得 $x=e$，但 $e \notin (0,1]$，在 $(0,1]$ 上 $g'(x) < 0$，因此 $g(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递减。
公式：$g'(x) = 1 - \frac{e}{x}$
提示：注意定义域，判断导数符号时只需考虑区间 $(0,1]$。
步骤 3/4
目标：求函数值域
计算端点值：$g(1) = 1 - e\ln 1 = 1$；当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$，故 $g(x) \to +\infty$。因此 $g(x)$ 的值域为 $[1, +\infty)$。
公式：$g(1)=1$，$\lim_{x\to 0^+} g(x) = +\infty$
提示：极限分析：$x\to 0^+$ 时 $e\ln x$ 负无穷大，$x$ 趋于0，整体趋于正无穷。
步骤 4/4
目标：确定k的最小值
方程有解等价于 $k$ 属于 $g(x)$ 的值域，即 $k \geq 1$，故 $k$ 的最小值为 $1$。
公式：$k_{\min} = 1$
提示：最小值对应函数在区间右端点的值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。