kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．求函数 $y=\ln x$ 在 $x=2$ 处带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒展开式。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \ln 2+\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k\cdot2^k}(x-2)^k+\frac{(-1)^n}{(n+1)\xi^{n+1}}(x-2)^{n+1}$，其中$\xi$介于2与$x$之间 **解析**： 步骤1：$f(x)=\ln x$，$\displaystyle f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k}$，$\displaystyle f^{(k)}(2)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{2^k}$。 步骤2：泰勒展开式为$\displaystyle \ln x=\ln 2+\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k\cdot2^k}(x-2)^k+R_n(x)$。 步骤3：拉格朗日余项$\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-2)^{n+1}=\frac{(-1)^n}{(n+1)\xi^{n+1}}(x-2)^{n+1}$，$\xi$介于2与$x$之间。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算函数在x=2处的各阶导数
对于f(x)=ln x，求导得f'(x)=1/x，f''(x)=-1/x^2，归纳得f^{(k)}(x)=(-1)^{k-1}(k-1)!/x^k，代入x=2得f^{(k)}(2)=(-1)^{k-1}(k-1)!/2^k。
公式：f^{(k)}(x)=(-1)^{k-1}(k-1)!/x^k
提示：注意ln x的导数规律，符号交替出现。
步骤 2/3
目标：写出泰勒展开式的前n项
根据泰勒公式，f(x)=f(2)+∑_{k=1}^n f^{(k)}(2)/k! (x-2)^k + R_n(x)，代入f(2)=ln2和f^{(k)}(2)得ln x = ln2 + ∑_{k=1}^n (-1)^{k-1}/(k·2^k) (x-2)^k + R_n(x)。
公式：ln x = ln2 + ∑_{k=1}^n (-1)^{k-1}/(k·2^k) (x-2)^k + R_n(x)
提示：注意k!与(k-1)!约简。
步骤 3/3
目标：写出拉格朗日余项
拉格朗日余项R_n(x)=f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! (x-2)^{n+1}，其中ξ介于2与x之间。代入f^{(n+1)}(ξ)=(-1)^n n!/ξ^{n+1}，得R_n(x)=(-1)^n/((n+1)ξ^{n+1}) (x-2)^{n+1}。
公式：R_n(x)=(-1)^n/((n+1)ξ^{n+1}) (x-2)^{n+1}
提示：ξ是介于2和x之间的某个数，具体值未知。
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