kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（解答题） 3．设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0, f(1)=1$ ，且 $f(x)$ 不恒等于 $x$ 。证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)>1$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：假设对任意$x\in(0,1)$，$f'(x)\leq1$，则由拉格朗日中值定理，$f(1)-f(0)=f'(\xi)\leq1$，但$f(1)-f(0)=1$，故$f'(\xi)=1$恒成立。 步骤2：若$f'(x)\leq1$且不恒等于$x$，则存在$x_0$使$f(x_0)\neq x_0$，不妨设$f(x_0)
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：假设结论不成立，即对所有x∈(0,1)有f'(x)≤1，并导出矛盾
假设对任意x∈(0,1)，f'(x)≤1。由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(0,1)使得f(1)-f(0)=f'(ξ)(1-0)=f'(ξ)。由条件f(0)=0，f(1)=1，得f'(ξ)=1。但若f'(x)≤1恒成立，则f'(ξ)=1表明f'(x)在ξ处取到最大值1。
公式：拉格朗日中值定理：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
提示：注意反证法的使用，假设所有点的导数≤1，然后利用中值定理得到矛盾。
步骤 2/3
目标：利用f(x)不恒等于x，构造矛盾点
由于f(x)不恒等于x，存在x0∈(0,1)使得f(x0)≠x0。不妨设f(x0)x0，类似可证）。考虑区间[0,x0]，由拉格朗日中值定理，存在η∈(0,x0)使得f'(η)=[f(x0)-f(0)]/(x0-0)=f(x0)/x0<1，这与假设f'(x)≤1且存在点导数为1矛盾（因为η处导数小于1，而ξ处等于1，但假设所有点导数≤1并不排除小于1，此处需更严谨：实际上，由f'(x)≤1且f'(ξ)=1，若存在η使f'(η)<1，则与假设无直接矛盾，但结合f(0)=0，f(1)=1，可推出f(x)=x，与不恒等于x矛盾）。更标准的证法：由f'(x)≤1，积分得f(x)≤x，又f(0)=0，f(1)=1，若存在x0使f(x0)1-x0，矛盾。
公式：积分不等式：若f'(x)≤1，则f(x)=∫0^x f'(t)dt ≤ x
提示：利用积分或中值定理构造矛盾，注意f(x)不恒等于x的条件。
步骤 3/3
目标：得出结论
因此假设不成立，故存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)>1。
提示：反证法结论。
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