kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．已知函数 $\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{x}{\mathrm{e}}+a(x>0)$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）。 （A）$(-1,0)$ （B）$(0,1)$ （C）$(-\infty, 0)$ （D）$(0,+\infty)$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：令$\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{x}{\mathrm{e}}+a$，$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}}$，令$f'(x)=0$得$x=\mathrm{e}$。 步骤2：$f(\mathrm{e})=1-1+a=a$，$\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$。 步骤3：有两个零点需$f(\mathrm{e})>0$，即$a>0$，但需注意$f(x)$在$(0,\mathrm{e})$递增，$(\mathrm{e},+\infty)$递减，最大值$f(\mathrm{e})=a>0$时有两个零点，故$a\in(0,+\infty)$，但选项D为$(0,+\infty)$，而A为$(-1,0)$。重新计算：$f(\mathrm{e})=a$，当$a>0$时有两个零点，故选D。但标准答案常为A，因可能考虑$a$为负时也有零点？检查：$a=0$时$f(\mathrm{e})=0$，仅一个零点；$a<0$时无零点。故正确为D。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导数并确定单调区间
对函数 f(x)=ln x - x/e + a 求导，得 f'(x)=1/x - 1/e。令 f'(x)=0，解得 x=e。当 00，函数单调递增；当 x>e 时，f'(x)<0，函数单调递减。
公式：f'(x)=1/x - 1/e
提示：注意定义域 x>0，导数为零的点是极值点。
步骤 2/3
目标：计算极值和极限
计算极大值 f(e)=ln e - e/e + a = 1 - 1 + a = a。计算端点极限：当 x→0⁺ 时，ln x → -∞，-x/e → 0，所以 f(x)→ -∞；当 x→+∞ 时，ln x 增长慢于 x/e，所以 f(x)→ -∞。
公式：f(e)=a
提示：极限计算时注意主导项。
步骤 3/3
目标：根据零点存在定理确定参数范围
函数在 (0,e) 递增，在 (e,+∞) 递减，且两端趋于负无穷。要使函数有两个零点，必须极大值大于0，即 a>0。此时函数图像与 x 轴有两个交点。因此 a 的取值范围是 (0,+∞)。
提示：注意极大值点处函数值决定零点个数。
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