kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导． （1）若 $f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，求证：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）若 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \ln \frac{2 x+1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求证：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{2}{2 \xi+1}-\frac{1}{\sqrt{1+\xi^{2}}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： （1）步骤1：若$f(x)$恒为0，则任意点导数均为0。否则，存在$x_0>0$使$f(x_0)\neq0$，由$f(0)=0$，在$[0,x_0]$上应用罗尔定理，存在$\xi_1\in(0,x_0)$使$f'(\xi_1)=0$。 步骤2：若$f(x_0)>0$，由$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，存在$x_1>x_0$使$f(x_1)
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明存在ξ∈(0,+∞)使f'(ξ)=0
若f(x)恒为0，则任意点导数均为0，结论成立。否则，存在x0>0使f(x0)≠0。由f(0)=0，在[0,x0]上应用罗尔定理，存在ξ1∈(0,x0)使f'(ξ1)=0。若f(x0)>0，由lim_{x→+∞}f(x)=0，存在x1>x0使f(x1)
公式：罗尔定理：若f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)使f'(c)=0
提示：分情况讨论：恒为零或存在非零点；利用罗尔定理构造区间
步骤 2/2
目标：证明存在ξ∈(0,+∞)使f'(ξ)=2/(2ξ+1)-1/√(1+ξ^2)
设g(x)=f(x)-ln((2x+1)/(x+√(1+x^2)))，则g(0)=f(0)-ln1=0，且由条件0≤f(x)≤ln((2x+1)/(x+√(1+x^2)))知g(x)≤0。计算g'(x)=f'(x)-[2/(2x+1)-1/√(1+x^2)]。若g'(x)恒小于0，则g(x)严格递减，结合g(0)=0得g(x)<0对x>0成立，但由极限行为（如x→+∞时ln((2x+1)/(x+√(1+x^2)))→ln2>0，而f(x)≥0，故g(x)可接近0）可推出矛盾。因此存在ξ>0使g'(ξ)=0，即f'(ξ)=2/(2ξ+1)-1/√(1+ξ^2)。
公式：g'(x)=f'(x)-[2/(2x+1)-1/√(1+x^2)]
提示：构造辅助函数g(x)，利用g(0)=0和g(x)≤0，反证法证明存在导数为零的点
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