kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设存在 $0<\theta<1$ ，使得 $\displaystyle \arcsin x=\frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^{2}}},-1 \leqslant x \leqslant 1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \theta=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \arcsin x=\frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^2}}$，得$\displaystyle \sqrt{1-(\theta x)^2}=\frac{x}{\arcsin x}$。 步骤2：当$x\to0$时，$\arcsin x\sim x$，故$\sqrt{1-(\theta x)^2}\sim1$，即$1-(\theta x)^2\sim1$，得$\theta^2 x^2\to0$，无法直接求。 步骤3：利用泰勒展开：$\displaystyle \arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，代入得$\displaystyle \frac{x}{\arcsin x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$，故$\displaystyle \sqrt{1-(\theta x)^2}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)$，平方得$\displaystyle 1-\theta^2 x^2=1-\frac{x^2}{3}+o(x^2)$，比较得$\displaystyle \theta^2=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 **难度**：★★★☆☆