kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设正值函数 $f(x)$ 二阶可导且满足 $\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}>f(x) f^{\prime \prime}(x)$ ，函数 $f(x)-x$ 在 $x=0$ 处取得极值 1 ，证明 $f(x) \leqslant \mathrm{e}^{x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：由$f(x)-x$在$x=0$处取极值1，得$f(0)-0=1$，即$f(0)=1$，且$(f(x)-x)'|_{x=0}=0$，即$f'(0)=1$。 步骤2：条件$[f'(x)]^2>f(x)f''(x)$可化为$\displaystyle \left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)'=\frac{f''(x)f(x)-[f'(x)]^2}{f^2(x)}<0$，故$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}$单调递减。 步骤3：由$\displaystyle \frac{f'(0)}{f(0)}=1$，当$x>0$时，$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}<1$，即$f'(x)-f(x)<0$，积分得$f(x)\mathrm{e}^{-x}$递减，$f(x)\mathrm{e}^{-x}\leq f(0)\mathrm{e}^{0}=1$，故$f(x)\leq\mathrm{e}^x$；当$x<0$时，$\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}>1$，同理得$f(x)\leq\mathrm{e}^x$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用极值条件确定f(0)和f'(0)
由f(x)-x在x=0处取得极值1，得f(0)-0=1，即f(0)=1；且(f(x)-x)'|_{x=0}=0，即f'(0)-1=0，故f'(0)=1。
公式：f(0)=1, f'(0)=1
提示：极值点处导数为0，注意函数是f(x)-x。
步骤 2/3
目标：转化条件为单调性
由[f'(x)]^2 > f(x)f''(x)，考虑导数(f'(x)/f(x))' = (f''(x)f(x) - [f'(x)]^2)/f^2(x) < 0，故f'(x)/f(x)单调递减。
公式：(f'(x)/f(x))' = (f''(x)f(x) - [f'(x)]^2)/f^2(x) < 0
提示：注意f(x)>0，分母为正，不等式方向不变。
步骤 3/3
目标：分区间讨论并积分证明不等式
由f'(0)/f(0)=1，当x>0时，f'(x)/f(x) < 1，即f'(x)-f(x) < 0，积分得(f(x)e^{-x})' < 0，故f(x)e^{-x}递减，f(x)e^{-x} ≤ f(0)e^0=1，即f(x) ≤ e^x；当x<0时，f'(x)/f(x) > 1，即f'(x)-f(x) > 0，积分得(f(x)e^{-x})' > 0，故f(x)e^{-x}递增，f(x)e^{-x} ≤ f(0)e^0=1，即f(x) ≤ e^x。
公式：(f(x)e^{-x})' = (f'(x)-f(x))e^{-x}
提示：构造f(x)e^{-x}，利用单调性比较。
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