kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（解答题） 6．设 $x>0$ ，证明 $\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：考虑函数$\displaystyle \varphi(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$，$x>0$。求导得$\displaystyle \varphi'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{x}{(1+x)^2}>0$，故$\varphi(x)$单调递增，又$\varphi(0)=0$，所以$\varphi(x)>0$，即$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)$。 步骤2：考虑函数$\psi(x)=x-\ln(1+x)$，$x>0$。求导得$\displaystyle \psi'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0$，故$\psi(x)$单调递增，又$\psi(0)=0$，所以$\psi(x)>0$，即$\ln(1+x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明左边不等式：x/(1+x) < ln(1+x)
构造函数 φ(x)=ln(1+x)-x/(1+x)，x>0。求导得 φ'(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2>0，故 φ(x) 在 (0,+∞) 上单调递增。又 φ(0)=0，所以 φ(x)>0，即 ln(1+x)>x/(1+x)。
公式：φ'(x)=x/(1+x)^2
提示：利用导数判断单调性，结合函数在端点处的值证明不等式。
步骤 2/2
目标：证明右边不等式：ln(1+x) < x
构造函数 ψ(x)=x-ln(1+x)，x>0。求导得 ψ'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0，故 ψ(x) 在 (0,+∞) 上单调递增。又 ψ(0)=0，所以 ψ(x)>0，即 x>ln(1+x)。
公式：ψ'(x)=x/(1+x)
提示：同样利用导数单调性，注意定义域 x>0。
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