kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： （1）对于任意 $x_{0}, x \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ； （2）若存在常数 $M>0$ ，使得任意 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，均有 $|f(x)| \leqslant M$ ，则 $f(x)$ 为常值函数。
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： （1）由$f''(x)\geq0$知$f'(x)$单调不减。对任意$x_0,x$，由拉格朗日中值定理，存在$\xi$介于$x_0$与$x$之间，使得$f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)$。若$x>x_0$，则$\xi>x_0$，$f'(\xi)\geq f'(x_0)$，故$f(x)\geq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$；若$x
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明不等式 f(x) ≥ f(x0) + f'(x0)(x - x0)
由 f''(x) ≥ 0 知 f'(x) 单调不减。对任意 x0, x，由拉格朗日中值定理，存在 ξ 介于 x0 与 x 之间，使得 f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)。分两种情况讨论：若 x > x0，则 ξ > x0，由 f' 单调不减得 f'(ξ) ≥ f'(x0)，又 x - x0 > 0，故 f(x) - f(x0) ≥ f'(x0)(x - x0)；若 x < x0，则 ξ < x0，f'(ξ) ≤ f'(x0)，且 x - x0 < 0，故 f(x) - f(x0) ≥ f'(x0)(x - x0)。因此不等式成立。
公式：f(x) - f(x0) = f'(ξ)(x - x0)
提示：注意拉格朗日中值定理的应用，以及单调性与不等号方向的关系。
步骤 2/2
目标：证明若 f(x) 有界则必为常值函数
假设 f(x) 不是常值函数，则存在 x1 ≠ x2 使得 f(x1) ≠ f(x2)。由 (1) 知，对任意 x0 和 x，有 f(x) ≥ f(x0) + f'(x0)(x - x0)。若存在某个 x0 使得 f'(x0) ≠ 0，则当 x → +∞ 或 x → -∞ 时，f(x) 无界，与 |f(x)| ≤ M 矛盾。故对所有 x0，f'(x0) = 0，从而 f(x) 为常值函数。
公式：f(x) ≥ f(x0) + f'(x0)(x - x0)
提示：利用反证法，结合不等式导出无界性。
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