kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（解答题） 7．设 $x>0$ ，证明 $\displaystyle \frac{1}{1+x}<\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：令$\displaystyle t=\frac{1}{x}$，则$x>0$时$t>0$，不等式化为$\displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{t}}<\ln(1+t)<\frac{1}{\frac{1}{t}}$，即$\displaystyle \frac{t}{1+t}<\ln(1+t)
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将原不等式转化为更简单的形式
令 $t = \frac{1}{x}$，因为 $x>0$，所以 $t>0$。原不等式化为 $\frac{1}{1+\frac{1}{t}} < \ln(1+t) < \frac{1}{\frac{1}{t}}$，即 $\frac{t}{1+t} < \ln(1+t) < t$。
公式：$t = \frac{1}{x}$
提示：通过换元将变量 $x$ 替换为 $t$，使不等式形式更简洁。
步骤 2/2
目标：利用已知结论证明不等式
由第1题结论（或常用不等式）：当 $t>0$ 时，有 $\frac{t}{1+t} < \ln(1+t) < t$ 成立。因此原不等式得证。
公式：$\frac{t}{1+t} < \ln(1+t) < t$
提示：此不等式是常见结论，可通过构造函数 $f(t)=\ln(1+t)-\frac{t}{1+t}$ 和 $g(t)=t-\ln(1+t)$ 并求导证明。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。