kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在区间 $(a, b)$ 上二阶可导，$f(a)=f(b)=0$ ，且存在一点 $c \in(a, b)$ ，使得 $f(c)>0$ 。证明：存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)<0$ 。
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：由$f(a)=f(b)=0$且$f(c)>0$，$c\in(a,b)$，在$[a,c]$上应用拉格朗日中值定理，存在$\xi_1\in(a,c)$使得$\displaystyle f'(\xi_1)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}>0$。 步骤2：在$[c,b]$上应用拉格朗日中值定理，存在$\xi_2\in(c,b)$使得$\displaystyle f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}<0$。 步骤3：由于$f'(x)$在$(\xi_1,\xi_2)$上可导，且$f'(\xi_1)>0>f'(\xi_2)$，由介值定理，存在$\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b)$使得$f'(\xi)=0$，但题目要求$f'(\xi)<0$，直接取$\xi=\xi_2$即得$f'(\xi_2)<0$，故存在$\xi\in(a,b)$使得$f'(\xi)<0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：在区间[a,c]上应用拉格朗日中值定理，得到存在一点ξ1∈(a,c)使得f'(ξ1)>0。
由f(a)=f(b)=0且f(c)>0，c∈(a,b)，在[a,c]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(a,c)使得f'(ξ1)=[f(c)-f(a)]/(c-a)=f(c)/(c-a)>0。
公式：f'(ξ1)=[f(c)-f(a)]/(c-a)>0
提示：注意f(c)>0且c>a，所以分式为正。
步骤 2/3
目标：在区间[c,b]上应用拉格朗日中值定理，得到存在一点ξ2∈(c,b)使得f'(ξ2)<0。
在[c,b]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ2∈(c,b)使得f'(ξ2)=[f(b)-f(c)]/(b-c)=-f(c)/(b-c)<0。
公式：f'(ξ2)=[f(b)-f(c)]/(b-c)<0
提示：注意f(b)=0且f(c)>0，所以分式为负。
步骤 3/3
目标：取ξ=ξ2，即得存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)<0。
由步骤2，ξ2∈(c,b)⊂(a,b)，且f'(ξ2)<0，因此存在ξ=ξ2∈(a,b)使得f'(ξ)<0。
提示：直接取ξ=ξ2即可，无需进一步推导。
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