kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．设函数 $f(x)$ 可导，且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1, f(0)=1$ ，证明 $|f(x)| \leqslant 1+x, 0
💡 答案解析
**答案**：证明见解析 **解析**： 步骤1：由拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(0,x)$使得$f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0)$，即$f(x)-1=f'(\xi)x$。 步骤2：由$|f'(x)|\leq1$得$|f'(\xi)|\leq1$，故$|f(x)-1|\leq x$，从而$|f(x)|\leq 1+x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用拉格朗日中值定理
由于函数 f(x) 在 [0, x] 上可导，由拉格朗日中值定理，存在 ξ ∈ (0, x) 使得 f(x) - f(0) = f'(ξ)(x - 0)，即 f(x) - 1 = f'(ξ)x。
公式：f(x) - f(0) = f'(ξ)(x - 0)
提示：注意区间端点和中值点的选取。
步骤 2/3
目标：利用导数有界性进行放缩
由已知条件 |f'(x)| ≤ 1，可得 |f'(ξ)| ≤ 1。因此 |f(x) - 1| = |f'(ξ)x| ≤ |f'(ξ)|·|x| ≤ 1·x = x。
公式：|f(x) - 1| ≤ x
提示：绝对值不等式性质：|ab| = |a||b|。
步骤 3/3
目标：推导最终不等式
由 |f(x) - 1| ≤ x，根据绝对值不等式得 |f(x)| - 1 ≤ |f(x) - 1| ≤ x，即 |f(x)| ≤ 1 + x。
公式：|f(x)| ≤ 1 + x
提示：利用三角不等式：|a| - |b| ≤ |a - b|。
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