kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（选择题） 9．设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)(a>0)$ 上一阶导数连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ，则（ ）。 （A） $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(2 x)+f(x)]=0$ （B） $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(2 x)-f(x)]=0$ （C） $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)-f(x)]=0$ （D） $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)+f(x)]=0$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由拉格朗日中值定理，$f(x+1)-f(x)=f'(\xi)$，其中$\xi\in(x,x+1)$。当$x\to+\infty$时，$\xi\to+\infty$，由$\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0$得$\lim_{x\to+\infty}[f(x+1)-f(x)]=0$，故C正确。 步骤2：A、D为和的形式，无法由导数极限为零推出；B中$f(2x)-f(x)=f'(\eta)x$，$\eta\in(x,2x)$，$x\to+\infty$时$f'(\eta)\to0$但$x$趋于无穷，极限不确定。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析选项C
由拉格朗日中值定理，存在ξ∈(x, x+1)，使得f(x+1)-f(x)=f'(ξ)。当x→+∞时，ξ→+∞，由已知lim_{x→+∞} f'(x)=0，得lim_{x→+∞} [f(x+1)-f(x)]=0，故C正确。
公式：f(x+1)-f(x)=f'(\xi), \xi\in(x,x+1)
提示：注意中值定理的应用条件：f在[x,x+1]上连续，在(x,x+1)内可导。
步骤 2/3
目标：分析选项A和D
A和D是函数值的和的形式，无法由导数极限为零直接推出。例如，取f(x)=常数，则f'(x)=0，但f(2x)+f(x)=2常数≠0，故A错误；D同理。
提示：和的形式不能由导数极限推出极限为零。
步骤 3/3
目标：分析选项B
由拉格朗日中值定理，存在η∈(x,2x)，使得f(2x)-f(x)=f'(η)·x。当x→+∞时，η→+∞，f'(η)→0，但x→∞，乘积极限不确定。例如，取f(x)=ln x，则f'(x)=1/x→0，但f(2x)-f(x)=ln2≠0，故B错误。
公式：f(2x)-f(x)=f'(\eta)\cdot x, \eta\in(x,2x)
提示：注意x因子可能导致极限不存在或非零。
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